HIMPUNAN

Himpunan (set)

·      Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.

·      Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Cara Penyajian Himpunan

1. Enumerasi

Contoh 1.

-  Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.      

-  Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.            

-  C = {kucing, a, Amir, 10, paku}

-  R  = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }-  C  = {a, {a}, {{a}} }-  K  = { {} } 

-  Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }             

-  Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

Keanggotaan

x Î A : x merupakan anggota himpunan A;

x Ï A : x bukan merupakan anggota himpunan A.

Contoh 2.

Misalkan: A = {1, 2, 3, 4},  R  = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

                      K  = {{}}

                        3 Î  A

            5 Ï B

{a, b, c} Î R

            c Ï R  

                  {} Î K

{} Ï R

Contoh 3. Bila P₁ = {a, b}, P₂ = { {a, b} }, P₃ = {{{a, b}}}, maka

                  a Î P₁

            a Ï P₂

                        P₁ Î P₂

            P₁ Ï P₃

                        P₂ Î P₃

2. Simbol-simbol Baku 

P =  himpunan bilangan bulat positif  =  { 1, 2, 3, ... }

N =  himpunan bilangan alami (natural)  =  { 1, 2, ... }

Z =  himpunan bilangan bulat  =  { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

Q =  himpunan bilangan rasional

R =  himpunan bilangan riil

C =  himpunan bilangan kompleks

·      Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.

Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

3.   Notasi Pembentuk Himpunan 

Notasi: { x ú syarat yang harus dipenuhi oleh x } 

Contoh 4.

(i)  A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5

      A = { x | x  adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari  5}

 atau

     A  =  { x | x  P, x < 5 }

yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}

(ii)  M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}

4. Diagram Venn

Contoh 5.

Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

Diagram Venn:

Kardinalitas

·     Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.

·    Notasi: n(A) atau êA ê

Contoh 6.

(i)   B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 },

      atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka ½B½ = 8

(ii)  T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka ½T½ = 5

(iii)A = {a, {a}, {{a}} }, maka ½A½ = 3 

Himpunan Kosong

·    Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).

·    Notasi : Æ atau {}

Contoh 7.

(i)   E = { x | x < x }, maka n(E) = 0

(ii)  P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0

(iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x² + 1 = 0 }, n(A) = 0            

·   himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {Æ}

·   himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {Æ, {Æ}}

·   {Æ} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong. 

Himpunan Bagian (Subset)

·           Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A       merupakan elemen dari B.

·           Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

·           Notasi: A  Í B

·           Diagram Venn:

Contoh 8.

(i)  { 1, 2, 3} Í {1, 2, 3, 4, 5}

(ii) {1, 2, 3} Í {1, 2, 3}

(iii) N Z R C

(iv) Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x  ³, y  ³ 0 } dan

       B = { (x, y) | 2x + y < 4,  x  ³ 0 dan y  ³ 0 },  maka B Í A.

TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:

(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A A).

(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( A).

(c) Jika A Í B dan B Í C, maka A Í C                       

·      A dan A A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A.

Contoh:  A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan Æ adalah improper subset dari A.

·      A Í B berbeda dengan A Ì B

(i)      A Ì B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A ¹ B.

       A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B. 

 Contoh: {1} dan {2, 3} adalah  proper subset dari {1, 2, 3}

(ii) A Í B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah  himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B.

Himpunan yang Sama

·       A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.

·      A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A ¹ B.

·        Notasi : A = B  «  A Í B dan B Í A 

Contoh 9.

(i)   Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B

(ii)  Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B

(iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A ¹ B                                                          

Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:

(a) A = A, B = B, dan C = C    

(b) jika A = B, maka B = A

(c) jika A = B dan B = C, maka A = C 

Himpunan yang Ekivalen

·    Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua impunan tersebut sama.

·        Notasi : A ~ B  « ½A½ = ½B½

Contoh 10.

Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab ½A½ = ½B½ = 4 

Himpunan Saling Lepas

·     Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.

·         Notasi : A // B

Diagram Venn:

Contoh 11.

Jika A = { x | x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.

Himpunan Kuasa

·    Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.

·      Notasi : P(A) atau 2^A

·       Jika ½A½ = m, maka ½P(A)½ = 2m.

Contoh 12.

Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}                                         

Contoh 13.

Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P(Æ) = {Æ}, dan himpunan kuasa dari himpunan {Æ} adalah P({Æ}) = {Æ, {Æ}}.