Himpunan (set)
· Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.
· Objek di dalam himpunan
disebut elemen, unsur, atau anggota.
Cara Penyajian Himpunan
1. Enumerasi
Contoh 1.
-
Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.
-
Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.
- C
= {kucing, a, Amir, 10, paku}
- R = { a, b,
{a, b, c}, {a, c} }- C = {a, {a},
{{a}} }- K = {
{} }
-
Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }
-
Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.
Keanggotaan
x Î A : x merupakan anggota himpunan A;
x Ï A : x bukan merupakan anggota himpunan A.
Contoh 2.
Misalkan:
A = {1, 2, 3, 4}, R = { a,
b, {a, b, c}, {a, c}
}
K = {{}}
3 Î A
5 Ï B
{a, b,
c} Î R
c Ï R
{} Î K
{} Ï R
Contoh 3. Bila P1 = {a, b},
P2 = { {a, b}
}, P3 = {{{a, b}}},
maka
a
Î P1
a Ï P2
P1 Î P2
P1 Ï P3
P2 Î P3
2. Simbol-simbol
Baku
P =
himpunan bilangan bulat positif
= { 1, 2, 3, ... }
N =
himpunan bilangan alami (natural)
= { 1, 2, ... }
Z =
himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q =
himpunan bilangan rasional
R =
himpunan bilangan riil
C =
himpunan bilangan kompleks
· Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.
Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A
adalah himpunan bagian dari U,
dengan A = {1, 3, 5}.
3. Notasi
Pembentuk Himpunan
Notasi: { x ú syarat yang harus dipenuhi oleh x }
Contoh 4.
(i) A adalah himpunan bilangan bulat positif yang
kecil dari 5
A = { x | x
adalah bilangan bulat positif lebih
kecil dari 5}
atau
A = { x
| x
P,
x < 5 }
yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3,
4}
(ii) M = { x
| x adalah mahasiswa yang mengambil
kuliah IF2151}
4. Diagram Venn
Contoh
5.
Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.
Diagram Venn:
Kardinalitas
· Jumlah elemen di dalam A
disebut kardinal dari himpunan A.
· Notasi: n(A) atau êA ê
Contoh 6.
(i) B = { x | x merupakan bilangan
prima yang lebih kecil dari 20 },
atau
B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka ½B½ = 8
(ii) T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka ½T½ = 5
(iii)A = {a,
{a}, {{a}} }, maka ½A½ = 3
Himpunan Kosong
· Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).
· Notasi : Æ atau {}
Contoh 7.
(i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0
(ii) P =
{ orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0
(iii) A
= {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2
+ 1 = 0 }, n(A) = 0
· himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {Æ}
· himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {Æ, {Æ}}
· {Æ} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan
kosong.
Himpunan Bagian (Subset)
·
Himpunan A dikatakan himpunan
bagian dari himpunan B jika dan hanya
jika setiap elemen A merupakan elemen
dari B.
·
Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
·
Notasi: A Í B
·
Diagram Venn:
Contoh 8.
(i) { 1, 2, 3} Í {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) {1, 2, 3} Í {1, 2, 3}
(iii)
N Z
R
C
(iv) Jika A
= { (x, y) | x + y < 4, x ³, y ³ 0 } dan
B = { (x, y) | 2x + y
< 4, x ³ 0 dan y ³ 0 }, maka B Í A.
TEOREMA 1. Untuk
sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:
(a) A adalah
himpunan bagian dari A itu sendiri
(yaitu, A A).
(b)
Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( A).
(c) Jika A
Í B
dan B Í C, maka A Í C
· A
dan A A,
maka dan A
disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper
subset) dari himpunan A.
Contoh: A
= {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan Æ adalah improper
subset dari A.
· A Í B berbeda dengan A Ì B
(i) A Ì B
: A adalah himpunan bagian dari B tetapi A ¹ B.
A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.
Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper
subset dari {1, 2, 3}
(ii) A Í B : digunakan untuk
menyatakan bahwa A adalah
himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A
= B.
Himpunan yang Sama
· A = B
jika dan hanya jika setiap elemen A
merupakan elemen B dan sebaliknya
setiap elemen B merupakan elemen A.
· A = B jika A
adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A.
Jika tidak demikian, maka A ¹ B.
· Notasi : A = B
« A Í B dan B Í A
Contoh 9.
(i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x
(x – 1) = 0 }, maka A = B
(ii) Jika A
= { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 },
maka A = B
(iii)
Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A ¹ B
Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:
(a) A = A, B = B, dan C = C
(b) jika A = B, maka B = A
(c) jika A = B dan B = C, maka A = C
Himpunan yang Ekivalen
· Himpunan A dikatakan ekivalen
dengan himpunan B jika dan hanya jika
kardinal dari kedua impunan tersebut sama.
· Notasi : A ~ B
« ½A½ = ½B½
Contoh 10.
Misalkan
A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d
}, maka A ~ B sebab ½A½ = ½B½ = 4
Himpunan Saling Lepas
· Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.
· Notasi : A // B
Diagram Venn:
Contoh 11.
Jika A = { x | x
P,
x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A
// B.
Himpunan Kuasa
· Himpunan kuasa (power
set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan
semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A
sendiri.
· Notasi : P(A) atau 2A
· Jika ½A½ = m,
maka ½P(A)½ = 2m.
Contoh 12.
Jika
A = { 1, 2 }, maka P(A)
= { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}
Contoh
13.
Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P(Æ) = {Æ}, dan himpunan kuasa dari himpunan {Æ} adalah P({Æ}) = {Æ, {Æ}}.
Dalam Permen tersebut disebutkan bahwa peserta didik dinyatakan lulus dari satuan pendidikan setelah:
